Los postulados del álgebra de Boole y Morgan

Postulados del álgebra de Boole

Vamos a exponer los postulados más significativos, y, para su mejor comprensión, acompañaremos cada uno de ellos con un circuito eléctrico realizado mediante contactos. En la siguiente Figura aparece una relación de la mayor parte de los postulados que veremos a continuación:

• Postulado 1

La suma lógica de una variable más un 1 lógico equivale a un 1 lógico:

a + 1 = 1

Circuito eléctrico equivalente de los postulados más significativos.

• Postulado 2

La suma lógica de una variable más un 0 lógico equivale al valor de la variable:

a + 0 = a

• Postulado 3

El producto lógico de una variable por un 1 lógico es igual al valor de la variable:

a · l = a

• Postulado 4

El producto lógico de una variable por un 0 lógico es igual a 0:

a · 0 = 0

• Postulado 5

La suma lógica de dos variables iguales equivale al valor de dicha variable:

a + a = a

• Postulado 6

El producto lógico de dos variables iguales equivale al valor de dicha variable:

a · a = a

• Postulado 7

La suma lógica de una variable más la misma variable negada equivale a un 1 lógico:

• Postulado 8

El producto lógico de una variable por la misma variable negada equivale a un 0 lógico:

• Postulado 9

Si una variable es negada dos veces, ésta no varía. Este postulado es válido para cualquier número par de inversiones:

• Otros postulados

Si se invierten los dos miembros de una igualdad, ésta no sufre ninguna variación:

Propiedades

De la misma forma que en el sistema convencional, en el álgebra de Boole se cumplen las propiedades que describimos a continuación:

• Propiedad conmutativa:

a + b = b + a

a · b = b · a

• Propiedad asociativa:

a + b + e = a + (b + c)

a · b · c = a · (b · c)

• Propiedad distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

a + b · c = (a + b) · (a + c)

Teoremas

Los teoremas que enunciamos seguidamente podrán ser demostrados apoyándonos en los postulados y propiedades descritos anteriormente.

• Teorema 1. Ley de absorción.

a) a + a · b = a

Demostración:

a + a · b = a · ( 1 + b ) = a · 1 = a

b) a · ( a + b) = a

Demostración:

a · (a + b) = a · a + a · b = a + a · b = a

Teorema 2.

• Teorema 3. Leyes de De Morgan.

Merecen especial mención las leyes de De Morgan por su gran utilidad en los procesos de simplificación. La comprobación de estos teoremas la podrá realizar el(la) lector(a) construyendo la tabla de la verdad:

Circuitos Digitales

Compuertas de lógica negativas o lógica positivas.

En los circuitos de compuertas lógicas hechos con relés de las figuras 4, 5 y 6 se ha considerado las entradas y salidas como 0, cuando el voltaje es cero (bajo) y 1, cuando es +6  v (alto), esta convención de equivalencias se le denomina positiva. Con esta consideración la compuerta de la figura 4 resulta AND, y la de la figura 5 OR, pero esto puede cambiar si se usa una convención diferente o negativa, es decir considerando 1 al valor del voltaje bajo y 0 al valor alto. Veamos.

La tabla de funciones

Más arriba habíamos visto que para cada compuerta lógica o circuito formado por ellas existía una tabla denominada tabla verdadera (truth table en Inglés) y habíamos definido que: "una truth table completa muestra cada combinación posible de los bits de entrada recibidos por una compuerta lógica o un circuito, y el estado de la salida para cada combinación", observe que se refiere a la función lógica, es decir tiene que ver con bits y sus valores, esto es 0 ó 1, tomados convencionalmente.

También hemos visto que cada bit puede tener uno de dos estados eléctricos, es decir ser "Alto o "Bajo" esto es real, un estado Bajo se refiere a bajo voltaje y uno Alto a voltaje alto.

Cuando se confecciona una tabla  equivalente a la tabla verdadera, pero utilizando los valores Alto y Bajo estamos mostrando los estados eléctricos reales del circuito. Esta tabla se denomina Tabla de funciones y caracteriza por completo una compuerta o un circuito formado por ellas. Ambas son muy parecidas, la diferencia es que la tabla verdadera muestra estados lógicos mientras que la tabla de funciones muestra estados eléctricos.

Lógica positiva.

Para que el circuito de relés en serie sea una compuerta AND, y el circuito de relés en paralelo sea una compuerta OR, tenemos que usar lógica positiva. Esto es, que el valor del voltaje alto signifique 1, y que el valor del voltaje bajo signifique 0. O lo que es lo mismo, escribir unos (1) cuando el voltaje es alto, y ceros (0) cuando es bajo en la tabla de funciones, si hacemos esto, habremos obtenido las tablas verdaderas para los dos tipos de compuerta.

De este modo la tabla verdadera de un circuito con relés en serie usando lógica positiva dice que: la salida será 1 solo cuando todas las entradas sean 1. Que es lo mismo que vimos anteriormente cuando estudiábamos la tabla verdadera para una compuerta AND.

Por tal motivo el circuito formado por relés en serie solo será una compuerta AND si usamos lógica positiva, por tal motivo es mejor llamarla compuerta positiva AND.

Si se estudia el circuito formado por relés en paralelo y sus tablas lógicas y de función también se podrá llegar a la misma conclusión: solo el circuito formado por relés en paralelo es una compuerta OR, si se usa lógica positiva, de tal forma, como en el caso anterior, es mejor llamarla compuerta positiva OR.

Lógica negativa.

Las tablas verdaderas para esas mismas compuertas, usando lógica negativa es completamente diferente. Recuerde que en este caso el valor de voltaje alto corresponde al 0 y el bajo al 1.

Cuando se usa esta lógica el comportamiento de las compuertas hechas con relés en serie realizan la función OR, contrariamente a lo que sucede con lógica positiva. Lo mismo sucede con el circuito paralelo, realizan la función AND, en lugar de la OR como era en el caso de lógica positiva.

Todo esto muestra una regla muy importante:

"Una compuerta AND positiva actúa como compuerta OR negativa y una compuerta OR positiva actúa como una compuerta AND negativa". Aunque parezca poco importante, esta diferencia resulta muy útil cuando se diseñan sistemas digitales.

Para completar diremos que un inversor será siempre un inversor, aunque se use lógica positiva o negativa.

Tabla De Equivalencias

Sistema Decimal

El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras : cero (0) - uno (1) - dos (2) - tres (3) - cuatro (4) - cinco (5) - seis (6) - siete (7) - ocho (8) y nueve (9).

Sistema Binario 

El código binario es el sistema numérico usado para la representación de textos, o procesadores de instrucciones de computadora, utilizando el sistema binario (sistema numérico de dos dígitos, o bit: el "0" /cerrado/ y el "1" /abierto/). En informática y telecomunicaciones, el código binario se utiliza con variados métodos de codificación de datos, tales como cadenas de caracteres, o cadenas de bits. Estos métodos pueden ser de ancho fijo o ancho variable. Por ejemplo en el caso de un CD, las señales que reflejarán el "láser" que rebotará en el CD y será recepcionado por un sensor de distinta forma indicando así, si es un cero o un uno.

En un código binario de ancho fijo, cada letra, dígito, u otros símbolos, están representados por una cadena de bits de la misma longitud, como un número binario que, por lo general, aparece en las tablas en notación octal, decimal o hexadecimal.

Sistema Octal

El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos del 0 al 7. En informática a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Sin embargo, para trabajar con bytes o conjuntos de ellos, asumiendo que un byte es una palabra de 8 bits, suele ser más cómodo el sistema hexadecimal, por cuanto todo byte así definido es completamente representable por dos dígitos hexadecimales.

Sistema Hexadecimal 

Es un sistema de numeración posicional de base 16 que utiliza 16 símbolos. Recuerda que en binario había dos: el 0 y el 1. Estos 16 símbolos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Siendo A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 y F=15. El sistema hexadecimal se usa mucho en informática porque dos dígitos hexadecimales corresponden a 1 byte.

Compuertas Lógicas

Las Compuertas Lógicas son circuitos electrónicos conformados internamente por transistores que se encuentran con arreglos especiales con los que otorgan señales de voltaje como resultado o una salida de forma booleana, están obtenidos por operaciones lógicas binarias (suma, multiplicación). También niegan, afirman, incluyen o excluyen según sus propiedades lógicas. Estas compuertas se pueden aplicar en otras áreas de la ciencia como mecánica, hidráulica o neumática.

Existen diferentes tipos de compuertas y algunas de estas son más complejas, con la posibilidad de ser simuladas por compuertas más sencillas. Todas estas tienen tablas de verdad que explican los comportamientos en los resultados que otorga, dependiendo del valor booleano que tenga en cada una de sus entradas.

Trabajan en dos estado, "1" o "0", los cuales pueden asignarse a la lógica positiva o lógica negativa. El estado 1 tiene un valor de 5v como máximo y el estado 0 tiene un valor de 0v como mínimo y existiendo un umbral entre estos dos estados donde el resultado puede variar sin saber con exactitud la salida que nos entregara. Las lógicas se explican a continuación:

• La lógica positiva es aquella que con una señal en alto se acciona, representando un 1 binario y con una señal en bajo se desactiva. representado un 0 binario.
• La lógica negativa proporciona los resultados inversamente, una señal en alto se representa con un 0 binario y una señal en bajo se representa con un 1 binario.

A continuación vamos a analizar las diferentes operaciones lógicas una por una comenzando por la más simple:

Compuerta AND

Esta compuerta es representada por una multiplicación en el Algebra de Boole. Indica que es necesario que en todas sus entradas se tenga un estado binario 1 para que la salida otorgue un 1 binario. En caso contrario de que falte alguna de sus entradas con este estado o no tenga si quiera una accionada, la salida no podrá cambiar de estado y permanecerá en 0. Esta puede ser simbolizada por dos o más interruptores en serie de los cuales todos deben estar activos para que esta permita el flujo de la corriente.
Fig. 2 Tabla, Representación y Fórmula Compuerta AND

Compuerta OR

En el Algebra de Boole esta es una suma. Esta compuerta permite que con cualquiera de sus entradas que este en estado binario 1, su salida pasara a un estado 1 también. No es necesario que todas sus entradas estén accionadas para conseguir un estado 1 a la salida pero tampoco causa algún inconveniente. Para lograr un estado 0 a la salida, todas sus entradas deben estar en el mismo valor de 0. Se puede interpretar como dos interruptores en paralelo, que sin importar cual se accione, será posible el paso de la corriente.
Fig. 3 Tabla, Representación y Fórmula Compuerta OR

Compuerta NOT

En este caso esta compuerta solo tiene una entrada y una salida y esta actúa como un inversor. Para esta situación en la entrada se colocara un 1 y en la salida otorgara un 0 y en el caso contrario esta recibirá un 0 y mostrara un 1. Por lo cual todo lo que llegue a su entrada, será inverso en su salida.
Fig. 4 Tabla, Representación y Fórmula Compuerta NOT

Compuerta NAND

También denominada como AND negada, esta compuerta trabaja al contrario de una AND ya que al no tener entradas en 1 o solamente alguna de ellas, esta concede un 1 en su salida, pero si esta tiene todas sus entradas en 1 la salida se presenta con un 0.
Fig. 5 Tabla, Representación y Fórmula Compuerta NAND

Compuerta NOR

Así como vimos anteriormente, la compuerta OR también tiene su versión inversa. Esta compuerta cuando tiene sus entradas en estado 0 su salida estará en 1, pero si alguna de sus entradas pasa a un estado 1 sin importar en qué posición, su salida será un estado 0.
Fig. 6 Tabla, Representación y Fórmula Compuerta NOR

Compuerta XOR

También llamada OR exclusiva, esta actúa como una suma binaria de un digito cada uno y el resultado de la suma seria la salida. Otra manera de verlo es que con valores de entrada igual el estado de salida es 0 y con valores de entrada diferente, la salida será 1.
Fig. 7 Tabla, Representación y Fórmula Compuerta XOR

Compuerta XNOR

Esta es todo lo contrario a la compuerta XOR, ya que cuando las entradas sean iguales se presentara una salida en estado 1 y si son diferentes la salida será un estado 0.
Fig. 8 Tabla, Representación y Fórmula Compuerta XNOR

Compuerta IF

Esta compuerta no es una muy utilizada o reconocida ya que su funcionamiento en estados lógicos es parecido a si solo hubiera un cable conectado porque exactamente lo que se le coloque en la entrada, se encontrara en la salida. Pero también es conocido como un buffer, en la práctica se utiliza como amplificador de corriente o como seguidor de tensión para adaptar impedancias.
Fig. 9 Tabla, Representación y Fórmula Compuerta IF